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随机变量的函数的分布
函数Y=g(X)得到的Y仍然是随机变量。
如果g(X)是单调的，我们可以取其反函数X=h(Y)。
如果g(X)不是单调的，我们可以把它分区间，使得每个区间内是单调的，再分别进行处理。
下面主要讨论单调函数的情况。
·一维情况：
Y=g(X)
反函数：X=h(Y)
离散情况——直接一一对应。
连续情况——积分时需要考虑dx和dy的长度比例关系。
由p{x0<x<x0+△x}=p{y0<y<y0+△y}，有fX(x0)|dx|=fY(y0)|dy|。
再推到处处成立，有fY(y)=fX(x)|dx|/|dy|，也即
fY(y)=fX(h(y))|h'(y)|
·二维情况：
Y1=g1(X1,X2), Y2=g2(X1,X2)
反函数：X1=h1(Y1,Y2), X2=h2(Y1,Y2)
离散情况——直接一一对应。
连续情况——积分时需要考虑dSx1x2和dSy1y2的长度比例关系。
由p{(x1,x2)∈△Sx1x2}=p{(y1,y2)∈△Sy1y2}，有fX1X2(x1,x2)|dSx1x2|=fY1Y2(y1,y2)|dSy1y2|。
再推到处处成立，有fY1Y2(y1,y2)=fX1X2(x1,x2)|dSx1x2|/|dSy1y2|
其中两个积分面积的比值需要用雅可比行列式来计算：J=| dhi/dyj |,i,j=1,2
随机变量的数字特征
随机变量的分布：分布函数或者概率密度函数包含了其全部的概率特征。但是实际中往往不可得或不可测，我们会利用一些简化的数字特征来对其进行描述和研究，以作为处理的依据。
我们关注的数字特征主要是一些“矩”，英文叫做moment。
·矩的基本概念：
一维：
k阶原点矩：E[Xk]
k阶中心矩：E[(X-E(X))k]
二维：
(j+k) 阶联合原点矩：E[Xj Yk]
(j+k) 阶联合中心矩：E[(X-E(X))j(Y-E(Y))k]
其中E[·]为算子：
离散情况：E[·]=Σ...Σ·P(X1=x1,...,Xn=xn)
连续情况： E[·]=∫...∫·f(x1,...,xn)dx1...dxn
·随机变量的主要数字特征：
数学期望：E[X]——一阶原点矩。
均方值：E[X2]——二阶原点矩。
方差：E[(X-E(X))k]——二阶中心矩。记为D[X]，可简便计算：D[X]=E[X2]-[E(X)]2
相关函数：E[XY]——二阶联合原点矩。记为R[X,Y]
协方差：E[(X-E(X))(Y-E(Y))]——二阶联合中心矩。记为Cov[X,Y]，可简便计算：Cov[X,Y]=E[XY]-E(X)E(Y)
相关系数：ρ=Cov[X,Y]/sqrt(D[X]D[Y])，是归一化了的协方差，表示线性相关性。|ρ|越接近1，越相关。
·概念辨析：线性无关、正交、独立
线性无关性：ρ=0ßàCov(X,Y)=0
正交性：R[X,Y]=0
独立性：三种表示：
概率P{X<=x,Y<=y}=P(X<=x)P(Y<=y)
分布函数：F(x,y)=FX(x)FY(y)
分布律和概率密度函数：P{X=xi,Y=yj}=P(X=xi)P(Y=yj) f(x,y)=fX(x)fY(y)
关系：
(1)两个随机变量统计独立，它们必然是线性无关的；
(2)两个随机变量线性无关，不一定互相独立；
(3)在两个随机变量中任一均值为零时，线性无关性与正交性是等价的；
(4)在两个随机变量的相关函数和协方差同时不为零时，它们不是线性无关的，也不是相互正交的。
(a) 一般情况下：
统计独立à线性无关ß(其中一个均值为零)à相互正交
(b) 高斯分布下：
线性无关ßà统计独立
(c) 高斯分布，且其中一个均值为零：
线性无关ßà统计独立ßà相互正交
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随机变量的特征函数
·定义：
一维情况：
CX(u)=E[ejuX]
离散情况：CX(u)=E[ejuX]=ΣiejuXi P(X=xi)
连续情况：CX(u)=E[ejuX]=∫ejuXi fX(x)dx
已知连续型随机变量X的概率密度函数fX(x)，特征函数CX(u)，有
CX(u)=∫ejuXi fX(x)dx
fX(x)=
∫e-juXiCX(u)du
可见：随机变量的概率密度函数与其特征函数构成一对特殊的傅立叶变换对。
C X(u)没有实际的“频率域”的物理含义！
·特征函数与矩的关系：
dnCX(u)/dun|u=0=jnE[Xn]
CX(u)=ΣnE[Xn](ju)n/n!
二维随机变量的联合特征函数：
定义为
CX1X2(u1,u2)=E[eju1X1+ju2X2]
由特征函数，也可以表示两个随机变量的统计独立性：
CX1X2(u1,u2)= CX1(u1)
CX2(u2)