《计算方法》教学大纲

课程编号：EE205211

课程名称：计算方法                               英文名称：Computational Methods                              

学分/学时：2/32                                  课程性质：选修课，专业教育课程

适用专业：电子信息工程、电磁场与无线技术等       建议开设学期：3

先修课程：高等数学、线性代数、计算机程序设计     开课单位：电子工程学院                             

一、课程的教学目标与任务

计算数学是数学与计算机科学的交叉学科，它兼有这两门学科的基本特征，即既有数学的抽象性与严密性，又有计算机科学的实践性与技术性。因此，本课程不仅介绍求解数学问题数值解的计算方法，而且注重使学生能将所学知识在计算机上具体实现。

通过本课程的学习使学生掌握科学研究和实际工程中数学问题的数值求解的基本原理和方法，并能够利用计算机求解数学问题的数值解。为学习后续专业课程、进行创新性研究和解决复杂工程问题，奠定坚实的自然科学基础和分析、计算能力。

二、课程具体内容及基本要求

（一）绪论（3学时）

介绍计算方法的研究对象以及所要解决的问题，误差的定义和描述，误差危害的防止措施，机器数系。

1.基本要求

（1）了解计算方法的研究对象以及所要解决的问题；

（2）了解误差的来源，熟悉误差的描述；

（3）掌握误差危害的防止措施；

（4）了解机器数系。

2.重点、难点

重点：误差的定义和描述

难点：误差危害的防止

3.作业及课外学习要求

作业：分析、判断有效数字以及有效数字与误差的关系，理解算法收敛的概念，掌握误差的分析方法，以及误差危害的防止措施，了解机器数系。

课外学习：学习或复习计算机程序设计语言，掌握编程方法和技巧，做好后续的上机实验准备。设计上机实验1的实验内容和实验步骤，编写上机实验的计算机程序，撰写实验报告。

（二）方程求根（2学时）

介绍方程求根数值求解的问题，方程求根的二分法、迭代法、牛顿法、割线法等计算方法。

1.基本要求

（1）了解所要解决的数学问题；

（2）掌握方程根的区间判别方法以及二分法算法；

（3）掌握迭代法及其收敛条件；

（4）掌握牛顿法和割线法及其收敛性；

2.重点、难点

重点：迭代法, 牛顿法

难点：收敛条件

3.作业及课外学习要求

作业：判断方程根的区间，利用二分法、迭代法、牛顿法、割线法求解方程的根。

课外学习：设计上机实验2的实验内容和实验步骤，编写上机实验的计算机程序，撰写实验报告。

（三）线性方程组数值解法（4学时）

介绍线性方程组数值求解的问题，三角方程组的解法，高斯消去法，列主元素高斯消去法，矩阵LU分解法。

1.基本要求

（1）了解所要解决的问题；

（2）熟悉高斯消去法；

（3）掌握列主元素高斯消去法；

（4）掌握矩阵LU分解法。

2.重点、难点

重点：列主元素高斯消去法，矩阵LU分解法

难点：矩阵LU分解法

3.作业及课外学习要求：

作业：利用高斯消去法、列主元素高斯消去法求解线性方程组，对矩阵进行LU分解。

课外学习：设计上机实验3的实验内容和实验步骤，编写上机实验的计算机程序，撰写实验报告。

（四）插值法（4学时）

介绍数值插值的数学问题，拉格朗日插值多项式，差商、差分及牛顿插值多项式，高次插值，分段线性插值。

1.基本要求

（1）了解所要解决的问题和插值的基本概念；

（2）了解多项式插值的待定系数法，以及插值多项式存在的唯一性；

（2）熟悉拉格朗日插值多项式，掌握拉格朗日插值法及其误差分析；

（3）熟悉差商、差分，掌握牛顿插值多项式及其误差分析；

（4）了解高次插值和样条插值，熟悉分段插值；

2.重点、难点

重点：拉格朗日插值多项式，牛顿插值多项式

难点：插值余项

3.作业及课外学习要求：

作业：利用拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段插值法解决插值问题，分析插值误差。

课外学习：设计上机实验4的实验内容和实验步骤，编写上机实验的计算机程序，撰写实验报告。

（五）曲线拟合（1学时）

介绍最小二乘的基本原理，最小二乘法曲线拟合。

1.基本要求

（1）了解最小二乘的基本原理；

（2）掌握最小二乘法曲线拟合方法。

2.重点、难点

重点：最小二乘法曲线拟合方法

难点：最小二乘原理

3.作业及课外学习要求：

作业：利用最小二乘法曲线拟合方法解决曲线拟合问题。

课外学习：设计上机实验5的实验内容和实验步骤，编写上机实验的计算机程序，撰写实验报告。

（六）数值积分与数值微分（4学时）

介绍数值积分与数值微分问题的提出，插值型求积公式（包括矩形、梯形、辛普生、柯特斯求积公式）及误差分析，复化求积（包括复化矩形、梯形、辛普生、柯特斯求积）公式，插值型求导公式及误差分析。

1.基本要求

（1）掌握矩形、梯形、辛普生求积公式及其误差分析；

（2）掌握复化矩形、梯形、辛普生求积公式；

（3）了解柯特斯求积公式、复化柯特斯求积公式；

（4）掌握插值型求导公式及误差分析。

2.重点、难点

重点：辛普生求积公式

难点：误差分析

3.作业及课外学习要求：

作业：利用矩形、梯形、辛普生求积公式以及复化矩形、梯形、辛普生求积公式求解数值积分问题，并分析其误差。利用插值型求导公式求解数值微分问题。

课外学习：设计上机实验6的实验内容和实验步骤，编写上机实验的计算机程序，撰写实验报告。

（七）常微分方程数值解法（6学时）

介绍问题的提出，欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法一阶常微分方程的数值解法及误差分析，一阶常微分方程组和高阶常微分方程的解法。

1.基本要求

（1）了解问题的提出；

（2）掌握欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法及其误差分析；

（3）熟悉一阶常微分方程组和高阶常微分方程的解法

2.重点、难点

重点：欧拉法，龙格-库塔法

难点：一阶常微分方程组的解法

3.作业及课外学习要求：

作业：利用欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法求解一阶常微分方程的数值解，并分析其误差。求解一阶常微分方程组和高阶常微分方程的数值解。

课外学习：设计上机实验7的实验内容和实验步骤，编写上机实验的计算机程序，撰写实验报告。

（八）上机实验及要求（16学时，其中课内8学时，课外8学时）

上机实验1：舍入误差与数值稳定性

通过上机编程复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令，通过上机计算了解舍入误差所引起的数值不稳定性。

上机实验2：方程求根

通过对二分法与牛顿迭代法做编程练习与上机运算，掌握其计算方法，进一步体会二分法与牛顿迭代法的不同特点；编写割线迭代法的程序，求非线性方程的解，并与牛顿迭代法作比较。

上机实验3：线性方程组数值解法

熟悉求解线性方程组的有关理论和方法；编写列主元消去法、LU分解法、雅克比迭代法的程序；通过实际计算，进一步了解各种方法的优缺点，选择合适的数值计算方法。

上机实验4：插值法

熟悉拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，了解其不同点；会用分段插值、样条插值解决实际问题。

上机实验5：曲线拟合

了解最小二乘法的基本原理，通过计算机解决曲线拟合实际问题。

上机实验6：数值积分

会编写各种数值求积公式的计算机程序，通过实际计算体会各种方法的特点。

上机实验7：常微分方程数值解法

熟悉求解常微分方程初值问题的有关理论和方法；会编写欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法的计算机程序，并上机计算其所需要的结果；通过各种方法的计算实习，体会各种方法的特点，会选取适当的求解方法。

上机实验8：课程论文计算方法性能验证

针对课程论文中涉及的实际问题，提出数值计算的方法，编写计算机程序，并通过上机计算对算法及其性能进行验证。

（九）课程论文及要求

课程论文参考题目：“XX数值计算方法”，学生可针对方程求根、线性方程组、插值、曲线拟合、数值积分与数值微分、常微分方程等数值计算问题，提出自己的数值计算方法，分析算法的收敛性、稳定性等性能，并用实例上机验证算法的有效性。学生也可自拟题目或根据任课教师提出的题目撰写课程论文。

三、教学安排及方式

总学时 24+8 学时，其中：讲授 24 学时，实验    学时，上机 16  学时（课内8学时，课外8学时），实践    学时，线上   学时。

注：教学方式包括面授和线上，其中面授包括： 讲授、实验、上机、实践。

四、考核及成绩评定方式

最终成绩由平时作业成绩（包括平时作业和课堂出勤）、课程论文成绩、上机实验成绩、期末考试成绩等组合而成。各部分所占比例如下：

平时作业成绩：10%。主要考核平时的学习态度，以及对堂课知识点的学习、理解和掌握程度。

课程论文成绩：10%。主要考核发现、分析和解决问题的能力；基于科学原理并采用科学方法，使用现代工具，以及将自然科学、工程基础和专业知识用于解决实际工程问题的综合能力；语言及文字表达能力，论文撰写能力。

上机实验成绩：10%。根据学生的上机实验课出勤、上机实验情况和提交的上机实验报告，主要考核学生利用计算机的分析、设计工具，应用所学知识解决实际问题分析和设计能力、现代工具运用能力、理论联系实际的能力、分析处理实验数据和撰写实验报告的能力。

期末考试成绩：70%。主要考核对数值计算方法基本概念、原理、方法及其应用等基础知识的掌握程度。考试形式为开卷笔试，题型为选择题、填空题、问答题、计算题等。

过程成绩提交时间和总评成绩计算说明表

注：上表用于说明授课过程中分项成绩提交时间，教师应在规定的时间内提交对应成绩，提前或逾期无法提交，一旦提交无法修改。大纲可以根据需要自行定义提交成绩的次数、时间和名称或说明，总评成绩计算必须与考核和成绩评定方式中描述的一致。

五、教材及参考书目

教材：《计算方法与实习》（第5版），孙志忠、吴宏伟、袁慰平、闻震初编著，南京：东南大学出版社，2012.

参考书目：

1.《计算方法典型例题分析》第2版，孙志忠主编，北京：科学出版社，2005.

2.《数值分析》第5版，李庆扬、王能超、易大义主编，北京：清华大学出版社，2008.

3.《计算方法与实习学习指导与习题解析》第2版，孙志忠、吴宏伟、曹婉容主编，南京：东南大学出版社，2010.

3.《数值分析全真试题解析》第2版，孙志忠主编，南京：东南大学出版社，2011.

六、说明

（一）与相关课程的分工衔接

高等数学、线性代数课程是介绍数学问题解析解求解的基本原理和方法，本课程是在学生学习这些课程之后，运用其基本原理和知识，介绍数学问题数值解的求解原理和方法，具有数学知识与计算机技术紧密结合的特点。运用学生学习MATLAB语言、C语言程序设计等计算机程序设计课程所学的计算机程序设计知识和编程能力，将本课程所学知识利用计算机进行实际计算和应用。

（二）其他说明

（执笔人：史林       审核人：×××）

2019年 8 月 28 日