《数值分析》教学大纲

课程编号：SE2321211

课程名称：数值分析                       英文名称：Numerical Analysis           

学分/学时：48/2.5                        课程性质：专业课           

适用专业：软件工程                       建议开设学期：第3学期 

先修课程：高等数学，线性代数，           开课单位：软件学院       

一种高级程序设计语言，如 MATLAB

一、课程的教学目标与任务

本课程介绍适合于计算机使用的、求解各种常用数学问题的数值计算方法。通过本课程的学习，使学生初步掌握各种常用数值方法的构造思想、基本原理及推导方法，并初步具备使用所学知识分析与解决实际问题的能力。

二、课程具体内容及基本要求

（一）数值分析基础（3+1学时）

主要内容如下：

（1）  计算模型、误差、误差限、相对误差、相对误差限、绝对误差、绝对误差限；

（2）  舍入误差、有效数字；

（3）  误差分析方法与原则。

1.基本要求

通过学习，掌握计算模型、误差、误差限、截断误差、舍入误差、有效数字的基本概念。会用基本概念对数值运算的误差进行估计。

2.重点、难点

重点：区别误差、误差限、相对误差、有效数字的概念。

难点：建立问题正确的计算模型。

（二）非线性方程的数值解法（3+2学时）

主要内容如下：

（1）    二分法、迭代法，迭代公式的收敛性及几何意义；

（2）    牛顿法，局部收敛性，牛顿下山法；

（3）    弦截法、秦九韶算法。

1.基本要求

掌握方程求根的二分法、迭代法、牛顿法。掌握方程求根的弦截法、秦九韶算法。

2.重点、难点

重点：二分法、迭代法、牛顿法。

难点：算法收敛的条件。

（三）线性方程组的数值解法（6学时+3）

主要内容如下：

（1）直接解法：高斯消元法、高斯列主元素消元法，直接三角分解。

（2）迭代解法：雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法，迭代法的收敛性。

1.基本要求

掌握解线性方程组的直接解法，包括高斯消元法、高斯列主元素消元法、直接三角分解。掌握解线性方程组的迭代解法，包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、迭代法的收敛性。

2.重点、难点

重点：高斯列主元素消元法、雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法。

难点：迭代法的收敛性。

（四）插值方法（6学时+2）

主要内容如下：

（1）插值基本概念，多项式插值，分段插值和三角插值；

（2）拉格朗日插值，线性插值、抛物插值、插值基函数、插值余项；

（3）逐次线性插值；

（4）均差与牛顿插值，差分及性质；

（5）埃尔米特插值。

1.基本要求

掌握插值的基本思想，掌握拉格朗日插值、逐次线性插值、牛顿插值和埃尔米特插值方法。

2.重点、难点

重点：掌握拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值方法。

难点：埃尔米特插值方法。

（五）函数逼近（4+2学时）

主要内容如下：

（1）正交多项式、最佳一致逼近、最佳平方逼近、Fourier级数的逼近。

（2）曲线拟合与最小二乘法。

1.基本要求

掌握函数逼近、曲线拟合与最小二乘法的基本思想，掌握最佳一致逼近、最佳平方逼近、Fourier级数的逼近方法。

2.重点、难点

重点：掌握最佳一致逼近、最佳平方逼近、Fourier级数的逼近方法。

难点：掌握最佳一致逼近、最佳平方逼近。

（六）数值积分与数值微分（4+2学时）

主要内容如下：

（1）数值积分、数值微分的基本思想，代数精度；

（2）插值型求积公式，牛顿-科特斯公式，偶阶求积公式的代数精度；

（3）插值型求导公式。

1.基本要求

掌握数值积分、数值微分的基本思想，代数精度的概念，插值型求积公式、牛顿-科特斯公式，插值型求导公式。掌握代数精度概念与数值求积公式的关系。

2.重点、难点

重点：插值型求积公式、牛顿-科特斯公式。

难点：理解插值、数值积分和插值型求积公式的关系。

（七）数值微分（2+1学时）

主要内容如下：

（4）数值积分、数值微分的基本思想，代数精度；

（5）插值型求积公式，牛顿-科特斯公式，偶阶求积公式的代数精度；

（6）插值型求导公式。

1.基本要求

掌握数值积分、数值微分的基本思想，代数精度的概念，插值型求积公式、牛顿-科特斯公式，插值型求导公式。掌握代数精度概念与数值求积公式的关系。

2.重点、难点

重点：插值型求积公式、牛顿-科特斯公式。

难点：理解插值、数值积分和插值型求积公式的关系。

（八）常微分方程的求解（4+3学时）

主要内容如下：

（1）欧拉法，Henn法；

（2）泰勒级数法、龙格-库他法。

1.基本要求

掌握解微分方程组的直接解法，包括欧拉法，Henn法、泰勒级数法、龙格-库他法。

2.重点、难点

重点：欧拉法，泰勒级数法、龙格-库他法。

难点：龙格-库他法。

三、教学安排及方式

总学时48 学时，其中：讲授32学时，上机16学时。

注：教学方式填写“讲授、实验或实践、上机、综合练习、多种形式”。

四、本课程对培养学生能力和素质的贡献点

本课程以数学问题为对象，介绍适用于科学计算与工程计算的基础理论和基本方法。通过本课程的学习，要求学生正确理解计算方法所涉及的基本概念，掌握利用计算机进行科学计算和工程计算的基本思想和基本方法，培养学生的数学建模能力、程序设计能力，以及数值分析能力，为后续的相关专业课打好理论基础和方法基础。

五、考核及成绩评定方式

最终成绩由平时作业成绩、期末成绩和小论文成绩等组合而成。各部分所占比例如下：

平时作业成绩：10%。主要考核对每课堂课知识点的复习、理解和掌握的程度。

课堂测验成绩：10%。主要考查对所学基本概念、基本性质、基本算方法掌握程度。

上机实验成绩：40%。主要考核计算机运用能力及对所学各种计算方法掌握的程度。

期末考试成绩：40%。主要考查对所学基本概念、基本性质、基本算方法掌握程度。

题目类型：选择题、填空题、问答题和计算题等。

六、教材及参考书目

教材：《数值计算方法》，吕同富、康兆敏、方秀男编著，清华大学出版社

参考书目：

1．金一庆，陈越《数值方法》（第一版），北京：机械工业出版社，2000。

2．Richard L. Burden, J. Douglas Faires 《Numerical Analysis》（The 7th Edition，影印），北京：高等教育出版社，2001。

3.刘萍.数值计算方法.人民邮电出版社，2002,2.

4 徐萃微.计算方法引论.高等教育出版社，1985,8.

七、说明

（一）与相关课程的分工衔接

数值计算方法研究的主要问题是高等数学、线性代数两门数学课提出的一些数学问题；要研究的是这些问题的以计算机为工具的数值计算方法，在计算机上实现各种算法需要一种高级程序设语言，如 MATLAB。故必须先修高等数学、线性代数和一种高级程序设计语言。

（二）其他说明

（执笔人：冯晓慧       审核人：高淑萍）

2019年8 月28 日