《复变函数》教学大纲

课程编号：ME072001

课程名称：复变函数                       英文名称：Complex Variables                              

学分/学时：2.5/40                         课程性质：必修课             

适用专业：电子，信息，机电               建议开设学期：3                          

先修课程：高等数学，线性代数             开课单位：机电工程学院                              

一、课程的教学目标与任务

《复变函数》是工科电子技术类专业教学计划中的一门重要基础课，也是一门工具课程。本课程的设立，一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助，另一方面，增强学生解决实际问题的能力。

通过本课程的理论与实验教学，使学生具备以下知识和能力： 1) 理解复变函数的基本知识和基本概念； 2) 掌握复变函数理论和运算技能； 3) 诱导学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，为学生掌握复变函数在自然科学和工程技术中的应用打下基础； 4) 要求学生学会应用所学知识解决所从事专业及在科学、工程技术中的实际问题。

二、课程具体内容及基本要求

（一）复数与复变函数 ( 4学时)

复数发展史略；复数的定义及运算；面上的点集；复球面与无穷远点；复变函数。

1.基本要求

理解复数、区域、单连通区域、复连通区域、按段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。理解复数的性质、会应用模和辐角的性质，会作点集的图形。进一步认识复数域的结构，并联系中学的复数教学。

2.重点、难点

重点：复变函数概念，复变函数的极限、连续性。

难点：无穷远点及无穷远点邻域，用不等式表示区域。

（二）解析函数(6学时)

解析函数的概念及其判断方法；函数解析的充分必要条件；初等函数及其解析性质。

1.基本要求

理解导数、解析函数的定义、性质及充要条件；理解函数在一点解析与函数在一点可导的区别；熟练掌握利用C—R条件判别解析函数的方法；了解初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数）的定义及解析性质。

2.重点、难点

重点：解析函数的定义，解析函数的充要条件及C—R条件。

难点：复变函数解析的概念。

（三）复变函数的积分(8学时)

复积分的概念、性质和计算；柯西-古萨基本定理；复合闭路定理；柯西积分公式与高阶导数公式；不定积分、牛顿—莱布尼茨公式；调和函数与解析函数的关系。

1.基本要求

理解复积分的概念；理解柯西积分定理和柯西积分公式以及高阶导数公式，认识以上定理和公式的作用，了解证明过程；熟练掌握利用柯西积分定理和积分公式计算函数的各种积分；了解调和函数与解析函数的关系，会从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部。

2.重点、难点

重点：柯西-古萨基本定理、柯西积分公式、高阶导数公式。

难点：计算非解析函数沿非闭合路径的积分。

（四）级数( 8学时)

复级数的基本概念；幂级数概念与性质，确定幂级数收敛的方法；泰勒级数；洛朗级数。

1.基本要求

理解收敛、发散及绝对收敛、幂级数、泰勒级数、收敛半径、收敛圆的概念；理解复变函数项级数的逐项可导性，与微积分学的相应定理比较认识其条件结论的强弱；熟练掌握幂级数收敛半径和收敛圆的求法；熟练掌握将函数在指定点展成幂级数的方法；熟练掌握解析函数零点和级别的求法。理解洛朗级数的概念及其与泰勒级数的关系；熟练掌握求函数在解析圆环域内洛朗展开式的求法。

2.重点、难点

重点：幂级数的收敛圆及收敛半径的求法；将函数在一点展成幂级数的方法；将函数展成洛朗级数的方法。

难点：利用已知的基本初等函数的展式将函数在指定点展成泰勒级数；将函数在解析圆环域内展成洛朗级数。

 （五）留数理论及其应用( 7学时)

孤立奇点的分类及其判别方法；留数的概念与计算；留数定理；留数在计算某些实积分中的应用。

1.基本要求

理解留数的定义和孤立奇点的分类；熟练掌握计算留数的方法；理解留数定理，会用留数理论计算积分。

2.重点、难点

重点：计算留数的方法；应有留数定理计算积分。

难点：函数在无穷远点留数的计算。

（六）共形映射 ( 7学时)

共形映射的概念；分式线性映射；几个初等函数所构成的映射。

1.基本要求

 理解导数的几何意义及共形映射、分式线性映射、保圆性、对称点等概念；掌握分式线性映射的性质和几个典型映射；理解常见的映射性质；会求一些简单区域之间的共形映射。

2.重点、难点

重点：分式线性映射。

难点：寻找复杂区域到简单区域的共形映射。

三、教学安排及方式

总学时 40 学时，其中：讲授  40  学时，实验  0  学时，上机  0  学时，实践  0  学时，线上 0  学时。

注：教学方式包括面授和线上，其中面授包括： 讲授、实验、上机、实践。

四、考核及成绩评定方式

最终成绩由平时成绩（30%）和期末成绩综合而成。各部分所占比例如下：

平时作业成绩：25%。主要考核对每堂课知识点的复习、理解和掌握程度。

到课点名：5%。

期末考试成绩：70%。书面考试形式。题型为：选择题、填空题、简答题和综合题等。

五、教材及参考书目

教材：工程数学《复变函数》(第四版)，西安交通大学高等数学教研室编，高等教育出版社

参考书目：

1.《复变函数》,孙利祥主编，复旦大学出版社

2.《Advanced engineering mathematics》, D. G. Zill and M. R. Cullen, PWS publishing company

3.《Complex variables and applications》, James W. Brown and Ruel V. Churchill，McGraw-Hill, Inc., Sixth Edition

六、说明

（一）与相关课程的分工衔接

本课程是一门工程基础课，必须先修《高等数学》、《线性代数》，后续课程为《信号与系统》、《电磁学》、《电动力学》、《流体力学》、《自动控制》等，为后续课程提供数学工具，有助于学生深刻理解信号与系统、自动控制等专门知识。

（二）其他说明

（执笔人：王 伟       审核人：×××）

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