《线性代数》教学大纲

课程编号：PC200013  课程名称：线性代数    英文名称：Linear Algebra 

学分/学时：2学分/32学时     课程性质：专业选修

适用专业：生物医学工程/生物技术  建议开设学期：第三学期  先修课程：高等数学(微积分)

开课单位：生命科学技术学院        

一、课程的教学目标与任务

线性代数是大学本科数学教育的一门数学基础课，也是多门后续课程的基本工具。本课程目标是通过本课程的学习，是学生掌握线性代数的基础知识，熟悉线性代数的基本思想和常见问题解决能力，培养新世纪适用人才的数学能力和计算技能。

本课程的教学任务是使得学生掌握行列式、矩阵、线性方程组、向量组、矩阵特征值与特征向量、矩阵相似和二次型等基本理论，并理解和贯通行列式和矩阵直接的联系，学会如何适用行列式和矩阵进行线性方程组的求解，学会如何利用向量组和向量空间求解想想方程组，理解特征分解意义和如何适用特征分解解决矩阵对角化和二次型等问题。进一步增强学生的数学素养、数学计算、抽象思维与逻辑思维能力，提高学生综合分析、处理问题的能力，为利用矩阵这个数学工具处理专业领域内的复杂工程问题提供理论基础。

二、课程具体内容及基本要求

（一）行列式( 6学时)

内容：二、三阶行列式定义及计算；n阶行列式的推广和定义；行列式的性质；行列式的按行（列）展开；克拉默(Cramer)法则求解n元线性方程组。

1.基本要求

（1）掌握二、三阶行列式及对角线法则；熟悉行列式的定义；

（2）掌握行列式的性质；了解余子式、代数余子式；掌握行列式按行（列）的展开法则；能够综合利用行列式的性质及按行（列）展开法则计算简单的n阶行列式；

(3) 掌握线性方程组的克拉默法则；熟悉克拉默法则判别线性方程组解的存在性。

2.重点、难点

重点：二、三阶行列式的计算；行列式的性质；行列式按行（列）展开方法，计算四阶及简单的n阶行列式；克拉默法则及其在线性方程组解的存在性判定中的作用。

难点：行列式的定义；n阶行列式的计算。

3.作业及课外学习要求：

本章布置作业两次，第1次练习行列式的运算和性质、带字母行列式和复杂行列式运用性质进行运算；第2次练习克拉默法则的使用和求解线性方程组、方程组有无解的判断等。

（二）矩阵（10学时）

内容：矩阵的概念；矩阵的加法、减法、数乘、乘法、转置、方阵的幂、方阵的行列式及运算规律；逆矩阵的概念；可逆的条件及逆矩阵的求法；矩阵分块及运算；矩阵初等变换的概念；利用初等变换将矩阵化为阶梯形与最简形；求逆矩阵的初等变换法；矩阵秩的概念与计算及性质；利用初等变换求解线性方程组。

1.基本要求

（1）理解矩阵概念及其应用背景，熟悉矩阵的相关概念，知道一些常用矩阵；掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵的行列式及其运算规律；

(2)熟悉伴随矩阵的概念，了解矩阵与其伴随矩阵之间的关系；理解逆矩阵的概念和可逆矩阵的性质；掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法；会解矩阵方程；

(3)了解矩阵分块的目的及运算；掌握初等变换概念和其在简化线性方程组、计算逆矩阵等问题中的作用；

（4）掌握初等变换矩阵的定义和作用；能够用初等变换化矩阵为阶梯型、最简形矩阵；会用初等变换计算矩阵的逆；理解矩阵秩的概念和性质；了解计算矩阵秩的理论基础，掌握矩阵秩的求法。

（5）掌握如何用初等变换简化线性方程组；掌握非齐次线性方程组有解、无解、有无穷多解的条件；掌握齐次线性方程组有非零解的条件；会求解线性方程组。

2.重点、难点

重点：矩阵的运算；逆矩阵的计算；矩阵的初等变换；利用初等变换求矩阵的逆；矩阵秩的求法；线性方程组的求解。

难点：矩阵的乘法；逆矩阵；利用初等变换求矩阵的逆的理论；矩阵秩的定义与性质；

3.作业及课外学习要求：

本章布置作业2次，第1次练习矩阵运算和性质、伴随矩阵与矩阵求逆、初等变换和矩阵求秩；第2次练习简化线性方程组、齐次与非齐次线性方程组求解。

课外要求自己预习和复习相关章节。

（三）向量与线性方程组（8学时）

内容：向量及其运算；向量组线性相关性；向量组的最大无关组与秩；向量空间；线性方程组解的结构。

1.基本要求

（1）理解n维向量、向量组、线性表示及向量组线性相关、线性无关的概念；掌握有关向量组线性相关、线性无关的判别方法；理解线性表示、线性无关与线性方程组解之间的关系；会判别向量组的线性相关性；

（2）了解向量组等价、最大无关组与向量组秩的概念；掌握向量组秩的计算方法；能够将向量组中的任意向量用其最大无关组线性表示；

（3）了解向量空间的概念、向量空间的维数与向量空间的基；了解基在表示向量空间中的作用；了解向量组张成空间的概念；

（4）理解齐次线性方程组解的结构、基础解系等概念；了解齐次线性方程组解的全体构成一个线性空间（解空间），基础解系是该解空间的基；会用基础解系表示齐次线性方程组的通解；理解非齐次线性方程组解的结构与通解求法。

2.重点、难点

重点：向量组线性相关性的判别；向量组最大无关组及秩的求法；线性方程组解的结构。

难点：向量组线性相关性的判别；向量组最大无关组的求法；齐次线性方程组基础解系的求法。

3.作业及课外学习要求：

本章布置作业2次，第1次练习向量运算、向量组的线性无关相关判断、最大无关组和向量组秩的判断；第2次练习线性方程组解的求解、基础解系的寻找和通解特解。

课外要求自己预习和复习相关章节。

（四）特征分解与矩阵对角化（6学时）

内容：矩阵的特征值与特征向量；相似矩阵；矩阵对角化；向量内积、施密特（Schmidt）正交化方法；正交矩阵；实对称阵的对角化。

1.基本要求

（1）理解矩阵的特征值与特征向量的概念、性质，会求矩阵的特征值与特征向量；

（2）了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的条件；对可对角化矩阵能够作出相似变换矩阵，使之与对角阵相似；会利用矩阵对角化简化矩阵运算；

（3）理解向量内积、模、正交、正交向量组、规范正交基、正交矩阵的概念和性质；会利用施密特正交化方法将向量空间的一组基化为等价的规范正交基；

（4）理解实对称阵的特征值、特征向量的性质；掌握实对称矩阵对角化，且相似变换矩阵可以为正交矩阵；会把实对称阵对角化；会把实对称矩阵通过正交相似变换化为对角阵。

2.重点、难点

重点：矩阵特征值、特征向量的定义、性质及计算方法；矩阵可对角化的条件及相似变化矩阵的求法；实对称阵的对角化。

难点：特征值、特征向量的性质；实对称阵特征值、特征向量的性质；矩阵可对角化的条件；利用矩阵对角化简化矩阵运算。

3.作业及课外学习要求：

本章布置作业2次，第1次练习特征值特征向量的求解及向量组的正交化、施密特正交；第2次矩阵相似性、实对称矩阵的对角化。

（五）总复习（2学时）

内容：本课程所有内容的复习串讲。

三、教学安排及方式

总学时 32 学时，其中：讲授 32 学时，实验 0 学时，上机 0 学时，实践 0 学时，线上 0 学时。

注：教学方式包括面授和线上，其中面授包括： 讲授、实验、上机、实践。

四、考核及成绩评定方式

 最终成绩由平时作业成绩、随堂小测试、考勤、期末成绩组合而成。各部分比例如下：

平时作业成绩：30 %。主要考核对每堂课知识点的复习、理解和掌握程度。

随堂小测试：20%。主要考核阶段性的知识掌握情况。

考勤：10%。主要检查到课率。

期末考试成绩：40 %。主要考核本门课基础知识的掌握程度。

书面闭卷考试形式。题型为：选择题和计算题等。

过程成绩提交时间和总评成绩计算说明表

注：上表用于说明授课过程中分项成绩提交时间，教师应在规定的时间内提交对应成绩，提前或逾期无法提交，一旦提交无法修改。大纲可以根据需要自行定义提交成绩的次数、时间和名称或说明，总评成绩计算必须与考核和成绩评定方式中描述的一致。

五、教材及参考书目

教材：《线性代数》（第六版），同济大学数学系，高等教育出版社，2014。

参考书目：

1.  《线性代数》（第三版），华中科技大学数学系,高等教育出版社，2008.

2.《线性代数》（第三版），上海交通大学数学系,科学出版社, 2014。

3.《Linear Algebra with applications》,Steven J. Leon, Prentice- Hall Inc, NinthEdition, 2002.

六、说明

无