《高等数学A(II)》教学大纲

课程编号：MS006002

课程名称：高等数学A(II)                  英文名称：Advanced Mathematics A(II)

学分/学时：5/80                          课程性质：必修

适用专业：全校工科专业、部分理科专业     建议开设学期：第2学期

先修课程：高等数学A(I)                   开课单位：数学与统计学院

一、课程的教学目标与任务

高等数学是高等学校理工科专业重要的基础理论课，是全校性的公共基础课，对于以信息和电子学科为主的我校各工科专业，高等数学在大学本科教育阶段显得尤为重要，有着举足轻重的作用。该课程不但是学习复变函数、概率统计、大学物理等课程的必修课，而且为学习专业课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。

通过该课程的教学，一是达到为学生的后继课程学习提供必要的基础数学知识；二是达到传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学知识的能力。

二、课程具体内容及基本要求

高等数学是各专业的基础课，它为后继课程及科学研究提供必要数学工具。高等数学A(II)主要内容有：空间解析几何与矢量代数，多元函数微分法及其应用，重积分,曲线积分与曲面积分，无穷级数。着重介绍其基本概念，基本理论和基本运算。

（一）向量代数与空间解析几何(10学时)

具体内容提要：

空间直角坐标系，向量及其线性运算；数量积、向量积、混合积；平面及其方程；空间直线及其方程；旋转曲面、柱面、简单的二次曲面；空间曲线及其方程。

1.基本要求

(1)了解:空间直角坐标系；球面、母线平行于坐标轴的柱面、以坐标轴为轴的旋转曲面（主要是锥面、抛物面）方程的求法；空间曲线的参数方程和一般方程。

(2)熟悉:向量的概念及其表示，向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的概念；曲面方程及空间曲线方程的概念。

(3)掌握:向量的线性运算；向量、单位向量、方向余弦的坐标表示法以及用坐标表达式进行向量运算的方法；向量的数量积、向量积、混合积；两个向量垂直、平行的条件；平面方程（点法式、一般式、截距式）的求法；直线方程（对称式、参数式、一般式）的求法；利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交）解决有关问题；空间曲线在坐标面上的投影曲线方程；曲面、立体图形在坐标面上的投影区域。

2.重点、难点

重点：空间直线、平面方程，常用的二次曲面方程。

难点：曲面方程。

3.作业及课外学习要求：线上自主学习，按时完成作业，小结课程内容并及时复习已学内容，考核达到要求。

（二）多元函数微分学(20学时)

具体内容提要：

多元函数的概念；偏导数；全微分；多元复合函数的求导法则；隐函数的求导公式；多元函数微分学的几何应用；方向导数与梯度；多元函数的极值及其求法。

1.基本要求

(1)了解:多元函数和平面区域的概念；偏导数的几何意义；多元函数的偏导数及高阶偏导数的概念；全微分存在的必要条件与充分条件，全微分在近似计算中的应用；空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线；多元函数极值存在的必要条件。

(2)熟悉：二元函数的概念；二元函数偏导数的概念；二元函数全微分的概念；方向导数与梯度的概念；多元函数极值与条件极值的概念。

(3)掌握：二元函数极限与连续性的概念；有界闭区域上连续函数的性质；复合函数一阶、二阶偏导数的求法；隐函数（包括由方程组所确定的隐函数）的偏导数的求法；方向导数与梯度的求法；空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线方程的求法；二元函数极值的求法，用拉格朗日乘数法求条件极值的方法；一些简单的最大值与最小值的应用问题的求法。

2.重点、难点

重点：二元函数偏导数的概念；复合函数一阶、二阶偏导数的求法；二元函数的极值，拉格朗日乘数法。

难点：复合函数（特别是抽象函数）、隐函数的二阶偏导数求法；方向导数与梯度的概念，拉格朗日乘数法。

3.作业及课外学习要求：按时完成作业，提前预习课程内容和及时复习已学内容。

（三）多元函数积分学(32学时)

具体内容提要：

重积分：二重积分的概念与性质；二重积分的计算法；三重积分；重积分的应用；

曲线积分与曲面积分：对弧长的曲线积分；对坐标的曲线积分；格林公式及其应用；对面积的曲面积分；对坐标的曲面积分；高斯公式；斯托克斯公式。

1.基本要求

(1)了解: 二重积分的性质；两类曲线积分的性质，两类曲线积分之间的关系；两类曲面积分的性质，两类曲面积分之间的关系；斯托克斯(Stokes)公式，通量与散度、环流量与旋度；重积分、曲线积分、曲面积分在几何与物理上的应用，如求体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量、引力等。

(2)熟悉：二重积分的概念；三重积分的概念；两类曲线积分的概念；两类曲面积分的概念；高斯(Gauss)公式。

(3)掌握：二重积分(在直角坐标系和极坐标系下)的计算方法；三重积分(在直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系下)的计算方法；两类曲线积分的计算方法；格林(Green)公式，曲线积分与路径无关的条件，全微分的原函数的求法；两类曲面积分的计算方法；用高斯公式计算曲面积分；用元素法（微元法）建立某些简单的几何量和物理量的积分表达式。

2.重点、难点

重点：二重积分和三重积分的计算方法；两类曲线、曲面积分的概念及计算；格林公式；高斯公式。

难点：三重积分在直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系下的计算方法；第二类曲线、曲面积分；高斯公式；斯托克斯公式。

3.作业及课外学习要求：按时完成作业，提前预习课程内容和及时复习已学内容。

（四）无穷级数(18学时)

具体内容提要：

常数项级数的概念和性质；常数项级数的审敛法；幂级数；函数展开成幂级数；函数的幂级数展开式的应用；傅里叶级数。

1.基本要求

(1)了解：级数绝对收敛与条件收敛的概念及两者的关系；函数项级数的收敛域与和函数的概念；幂级数在其收敛区间内的基本性质（连续性、逐项求导与逐项求积）；函数展开成幂级数的充分必要条件；幂级数在近似计算中的应用；用三角函数逼近周期函数的思想，三角函数系的正交性。

(2)熟悉：常数项级数收敛、发散以及收敛级数和的概念；函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理。

(3)掌握：级数的基本性质及级数收敛的必要条件；几何级数和级数的敛散性；正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法；交错级数的莱布尼兹定理；幂级数的收敛半径、收敛区间（指开区间）以及收敛域的求法；一些简单幂级数的和函数的求法；常用函数,,,和的麦克劳林展开式，用这些展开式将一些简单的函数展开成幂级数；将定义在和上的函数展开为傅里叶级数；将定义在上的函数展开为正弦级数和余弦级数。

2.重点、难点

重点：几何级数、级数的敛散性；正项级数的比较审敛法、比值审敛法；交错级数的莱布尼兹判别法；幂级数收敛半径及收敛域的求法；函数展开成幂级数；简单幂级数的和函数的求法。

难点：正项级数的比较审敛法；用间接法将函数展开为幂级数；幂级数的和函数的求法；泰勒级数。

3.作业及课外学习要求：按时完成作业，提前预习课程内容和及时复习已学内容。

三、教学安排及方式

总学时80学时，其中：课堂内容讲授62学时，习题及释疑讲授10学时，学生线上自主学习 8 学时。建议学生分组课外研讨6学时以上，鼓励学生课外自主学习12学时以上。

说明：向量代数与空间解析几何，8学时线上，2学时面授，其中面授采用讲授、讨论等多种形式。

四、考核及成绩评定方式

最终总评成绩由平时作业课堂成绩、小测验成绩、期中成绩和期末成绩等组合而成。各部分所占比例如下：

平时作业成绩：占10%。主要考核对阶段性知识点的复习、理解和掌握程度。

课堂表现成绩：占10%。主要考核对每堂课知识点的复习、理解和掌握程度。

平时测验成绩：占10%至30%。主要考核阶段性教学效果，以及对所学知识的掌握程度。

期中考试成绩：占10%至30%。主要考核前半学期高等数学基础知识的系统掌握程度。书面考试形式。题型为：选择题、填空题、计算题、证明题等。

期末考试成绩：占20%至40%。主要考核所在学期高等数学基础知识的系统掌握程度。书面考试形式。题型为：选择题、填空题、计算题、证明题等。

过程成绩提交时间和总评成绩计算说明表

成绩	成绩提交时间	名称或说明
	期末考试后，一周内提交成绩	平时作业成绩，采用10分制
	期末考试后，一周内提交成绩	课堂表现成绩，采用10分制
	第8次授课后、第12次授课前	第一次测验成绩，采用百分制，系数
	第28次授课后、第32次授课前	第二次测验成绩，采用百分制，系数
	期中考试后，一周内提交成绩	期中考试成绩，采用百分制，系数
	期末考试后，一周内提交成绩	期末考试成绩，采用百分制，系数
总评成绩

注：上表用于说明授课过程中分项成绩提交时间，教师应在规定的时间内提交对应成绩，提前或逾期无法提交，一旦提交无法修改。大纲可以根据需要自行定义提交成绩的次数、时间和名称或说明，总评成绩计算必须与考核和成绩评定方式中描述的一致。

五、教材及参考书目

教材：同济大学编，《高等数学》(第七版)，北京：高等教育出版社，2006.

参考书目：

[1]高等数学(第2版),李忠、周建莹, 北京大学出版社, 2009.

[2]《高等数学》，清华大学编，高等教育出版社，1985.

[3]《高等数学同步辅导》，杨有龙等编，西安电子科技大学出版社，2016.

[4] 《Calculus》翻译版，Dale Verberg等编，刘深泉等译，机械工业出版社，2015.

六、说明

（一）与相关课程的分工衔接

学习高等数学的目的，不仅仅在于学到一些数学的概念、公式和结论，更重要的是要了解数学的思想方法和精神实质，真正掌握数学这门学科的精髓。只有这样，所学的数学知识才不至沦为一堆僵死的教条。相反，若能做到触类旁通，则在现实世界中提出的种种问题面前数学会显示出无穷无尽的威力，终生受用不尽。高等数学，单靠教师把课讲好是远远不够的。只有调动学生学习的积极性和主动性，促使他们自觉地接受充分而又严格的数学训练，才能使他们真正走近数学，获得切身的体会，从而加深对数学的理解。高等数学的任何章节，所有概念和定理无不是由严密的逻辑关系网编织连接在一起的。可以说，数学的逻辑结构乃是数学科学的本质与灵魂，是它的原理和精神所在。我们在教学过程中，一定要结合具体而生动的实例加以理解，还抽象数学以其现实本性，使学生觉得数学是活的、生动的、具体的，而且要体会到它为什么会是这样的，为什么必然是这样的，做到知其然，更要做到知其所以然。

（二）其它说明

为了提高学生的自主学习能力和增加学生的阅读量，既指定具体的教材[同济大学编，《高等数学》(第七版)，北京：高等教育出版社，2006.]，又鼓励教师、学生多参考、阅读、自主学习其他教材和辅导材料。

可以引导一部分学有余力的同学组成兴趣小组，对课程内容进行深挖、补充，或布置一些难度稍大的需要深入思考的题目来让学生完成小论文，从而达到培优的目的。

 （执笔人：宋宜美      审核人：张丽）

2018年11月25日