《高等代数（II）》课程教学大纲

课程编号：MS203005

课程名称：高等代数(II)                英文名称：AdvancedAlgebra 

学分/学时：5/80                       课程性质：必修

适用专业：数学与统计学院所有专业      建议开设学期：第2学期

先修课程：无                          开课单位：数学与统计学院     

一、课程教学目标及任务

《高等代数》是数学专业与统计学专业的一门重要基础课。它是数学在其它应用学科的必需基础课程，也是数学修养的核心课程。高等代数下册主要介绍二次型、线性空间、线性变换、欧式空间等内容。通过学习本课程，使学生掌握线性空间、线性变换、欧式空间的基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧；熟练掌握矩阵和线性变换的关系，学会线性方程组、矩阵、线性变换问题的相互转化；熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般等辨证关系。教学中要注意结合几何直观和代数方法的对应关系，使学生即能从几何的观点更好地理解内容，又可把握简洁和直接的代数方法。同时要突出传授数学思想和数学方法，渗透现代数学的一些基本思想和基本方法。培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力、运算能力、解决实际问题的能力和创新能力，提高学生的数学素质。为学习其他后续课程（如近世代数、离散数学、计算方法、偏微分方程、泛函分析等）以及从事相关的研究工作提供坚实的基础。

二、课程具体内容及基本要求

（一）二次型(4学时)

唯一性；正定二次型。

1. 1.  基本要求

（1）   正确理解复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性；掌握惯性定理。

（2）   熟练掌握正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念；熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。

1. 2.  重点、难点

重点：复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性；惯性定理；正定二次型的判别条件；半正定二次型的等价条件。

难点：正定二次型及正定矩阵的判别条件；半正定二次型的等价条件。

1. 3.  采用的教学方法及要求：讲授、练习

2. 4.  作业及课外学习要求：及时完成课后作业及练习

（二）线性空间(18学时)

集合与映射、线性空间的定义与简单性质，维数，基与坐标，过渡矩阵，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和、维数公式，子空间的直和，线性空间的同构。

1. 1.  基本要求

（1）  掌握映射、单射、满射（映上的映射）、双射（一一对应）、逆映射等概念；

（2）  正确理解和熟练掌握线性空间的概念及性质，会判断一个代数系统是否是线性空间；

（3）  理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念，正确理解和熟练掌握n维线性空间基与向量坐标的概念及性质；

（4）  正确理解和熟练掌握基变换与坐标变换公式；

（5）  正确理解和掌握线性子空间的定义及判别定理，熟练掌握向量组生成子空间的概念及等价条件；

（6）  掌握子空间的交与和的定义及性质，熟练掌握维数公式。

（7）  深刻理解和熟练掌握子空间的直和的概念及和为直和的充要条件；

（8）  理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。

1. 2.  重点、难点

重点：线性空间的概念，基的概念及性质，基变换与坐标变换，线性子空间的定义及判别定理，向量组生成子空间的定义及等价条件，子空间的交与和、维数公式，子空间的直和，线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。

难点：线性空间的概念，空间基的概念及性质，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间同构的概念。

1. 3.  采用的教学方法及要求：讲授、练习。

2. 4.  作业及课外学习要求：及时完成课后练习和习题

（三）线性变换(20学时)

线性变换的概念，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核，不变子空间，若当标准形，最小多项式。　

1.基本要求

（1）理解和掌握线性变换的定义及性质；

（2）熟练掌握线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式；

（3）深刻理解和熟练掌握线性变换与矩阵的联系，熟练掌握矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵的相似性质；

（4）熟练掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质，会求矩阵的特征值与特征向量，掌握相似矩阵的性质及哈密尔顿-凯莱定理；

（5）掌握n 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角形的充要条件；

（6）掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念，深刻理解和熟练掌握线性变换的值域与它对应矩阵的秩的关系，线性变换的秩和零度间的关系；

（7）掌握不变子空间的定义，会判定一个子空间是否是 -子空间，熟练掌握不变子空间分解与线性变换矩阵化简之间的关系，掌握将线性空间按特征值分解成不变子空间直和的表达式；

（8）掌握Jordan标准形理论内容；

（9）正确理解最小多项式的概念，掌握一个矩阵相似于对角阵与它的最小多项式的关系。

2.重点、难点

重点：线性变换的概念及性质，线性变换的运算，线性变换与矩阵的关系，相似矩阵，矩阵的特征值、特征向量、特征多项式，矩阵的特征值和特征向量的求法，哈密尔顿-凯莱定理，线性变换在某一组基下的矩阵为对角形的充要条件，不变子空间的概念，将线性空间 按互异特征值分解成不变子空间的直和表达式，Jordan标准形，最小多项式。

难点：线性变换的乘法，矩阵的特征值、特征向量、特征多项式，线性变换的值域、核、秩、零度；线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系，线性变换的秩和零度间的关系，将线性空间按特征值分解成不变子空间的直和表达式。

3.采用的教学方法及要求：讲授、练习。

4.作业及课外学习要求：及时完成课后习题及练习。

(四)λ-矩阵(14学时)

                            -矩阵的概念及运算，-矩阵在初等变换下的标准形，不变因子，矩阵相似的条件，初等因子，若当（Jordan）标准形的理论推导，矩阵的有理标准形。

1.基本要求

（1）了解矩阵的初等变换，掌握—矩阵的初等变换下的标准形；

（2）掌握行列式因子，不变因子，初等因子的概念及其它们之间的关系；

（3）掌握相似矩阵的条件及复数矩阵相似对角矩阵的充要条件；

（4）掌握矩阵的Jordan标准形的求法。

2.重点、难点

重点：λ-矩阵的可逆，λ-矩阵在初等变化下的标准形，矩阵的Jordan标准形，行列式因子、不变因子、初等因子及其之间相互关系，复数矩阵相似对角矩阵的充要条件。

难点：λ-矩阵及其标准形，行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。

3.采用的教学方法及要求：讲授、练习。

4.作业及课外学习要求：及时完成课后习题及练习。

(五)欧几里得空间(18学时)

欧几里得空间的定义与基本概念，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的距离、最小二乘法，酉空间介绍。

1.基本要求

（1）深刻理解欧氏空间的定义及性质，掌握向量的长度、两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质，掌握各种概念之间的联系和区别；

（2）正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，掌握把线性无关向量组化为单位正交向量组的方法；

（3）深刻理解两个欧氏空间同构的定义，掌握两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系；

（4）正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，掌握正交变换与向量的长度，标准正交基、正交矩阵间的关系；

（5）正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，掌握欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质；

（6）深刻理解和掌握任一个实对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交矩阵的方法；熟练掌握正交变换化实二次型为标准形的方法；

（7）了解向量到子空间的距离的概念及计算，最小二乘法；

（8）了解酉空间的概念及性质。

2.重点、难点

重点：欧氏空间的定义及性质，向量的长度、两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质，正交向量组、标准正交基的概念，施密特正交化，正交变换的概念及几个等价关系，正交变换与向量的长度、标准正交基、正交矩阵间的关系，正交与直和的关系，正交阵，用正交变换化实二次型为标准形。

难点：欧氏空间的定义及性质，正交向量组、标准正交基的概念，施密特正交化，实对称矩阵标准正交化，用正交变换化实二次型为标准形。

3.采用的教学方法及要求：讲授、练习

4.作业及课外学习要求：及时完成课后习题及练习。

(六)双线性函数(6学时)

线性函数，对偶空间，双线性函数，对称双线性函数。

1.基本要求

（1）掌握线性函数的概念及性质；

（2）掌握对偶空间及对偶基的概念，了解有关性质；

（3）了解双线性函数的概念及其度量矩阵；

（4）掌握对称双线性函数及反对称双线性函数的概念。

2.重点、难点

重点：线性函数、对偶空间、双线性函数、对称双线性函数的概念，对偶基。

难点：对偶空间，对偶基，反对称双线性函数的性质。

3.采用的教学方法及要求：讲授、练习

4.作业及课外学习要求：及时完成课后习题及练习。

三、教学安排及方式

总学时80学时，其中：讲授80学时，建议学生分组课外研讨10学时以上

四、考核及成绩评定方式

最终成绩由平时作业成绩、阶段小测试成绩、期中考试成绩与期末考试成绩等组合而成。各部分所占比例如下：

平时作业成绩：10%-20%。主要考核学生的到课率以及交作业的数量及质量。

阶段小测试成绩：20%-30%。主要考核学生对阶段性知识点的理解和掌握程度。

期中考试成绩：20%-30%。主要考核学生对于前半学期的知识点的理解和掌握程度。

期末考试成绩：30%-40%。主要考核大纲要求的基础知识、基本计算技能的掌握程度。书面考试形式。题型为：选择题、填空题、证明题和计算题等。

过程成绩提交时间和总评成绩计算说明表

五、教材及参考书目

教材：《高等代数》（第四版），王萼芳、石生明修订，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，高等教育出版社，2013年。

参考书目：

[1]《高等代数》，姚慕生，复旦大学出版社，2005年。

[2]《高等代数》，张禾瑞，郝炳新，高等教育出版社，2007年。

[3]《高等代数》，丘维声，高等教育出版社，2013年。

[4]《高等代数》，林亚南，高等教育出版社，2013年。

[5]《高等代数》，牛兴文，化学工业出版社，2006年。

[6]《Linear Algebra with Applications》，Steven J.Leon.China Machine Press，Sixth Edition.

六、说明

（一）与相关课程的分工衔接

《高等代数》是数学各专业必修的一门基础课，是中学代数的继续与提高，是学习近世代数、数论、离散数学、数值逼近、数值代数、微分方程、泛涵分析等课程的基础。

（二）其他说明

无

（执笔人：张欣    审核人：尹小艳）

2018年11月28日