《概率论与数理统计》教学大纲

学分/学时：48                       课程性质：公共基础课  

适用专业：工、理（物理，化学）、经管类各专业  建议开设学期：第3学期 

先修课程：高等数学、线性代数        开课单位：全校各院系（人文学院及数学系除外）

一、课程的教学目标与任务

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性及对这种客观规律性的观察组织和科学估计与判断的一门数学分支学科。由于该学科理论严谨，应用广泛，因而已成为现代工程技术与社会经济管理人员必须掌握的一种技术工具及我校理、工、经、管各专业的公共基础课。通过本课程的学习，要使学生掌握概率统计的基本概念，必要的基础理论，分析思想和常用的计算方法，从而为后继课程的学习和今后从事相关科研活动奠定基础。

本课程的需求与任务为：（a）为理、工、经、管各专业的后继专业基础课和专业课（如随机过程、随机运筹学、统计信号处理、随机信号分析、统计模式识别、雷达系统仿真与性能评估、统计物理、计量经济学等）提供概念、理论基础和应用方法支持；（b）为今后从事的各种随机动态系统（如通信系统、雷达系统、计算机控制系统等）的规划论证、系统分析、设计、仿真、决策与控制研究提供数学思想和数学方法支持。

二、课程具体内容及基本要求

（一）概率论的基本概念（6学时）

具体内容包括随机试验、样本空间与随机事件；频率与概率；古典概型与几何概型；条件概率与独立性。

1.基本要求：

（1）理解样本空间，随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。能熟练运用事件的和，积，差运算表示未知的事件。

（2）了解概率的公理化体系及概率论的发展历史，掌握概率的基本性质。熟练掌握概率的加法公式。会计算古典概型和几何概型问题的概率。

（3）了解条件概率的概念，熟练掌握概率的乘法公式、全概率公式和Bayes公式。

（4）了解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算。

通俗介绍概率的公理化定义，简要介绍几何概型问题的求解。

2.重点、难点

重点：事件的关系及运算；概率的定义及基本性质；条件概率与概率的乘法定理；全概率公式与Bayes公式；事件的独立性

难点：古典概型问题的求解。

3.作业及课外学习要求：

重点练习基本概念和古典概型求解的各种典型题型。

（二）随机变量及其分布（7学时）

具体内容包括：随机变量；离散型随机变量的概率分布；随机变量的分布函数；连续型随机变量的概率密度函数；随机变量的函数的分布。

1.基本要求：

（1）理解随机变量概念，离散随机变量及其分布列的概念，理解独立重复试验的概念。掌握计算有关事件概率的方法。掌握0—1分布、Poisson分布、二项分布及其应用问题的求解方法。

（2）了解分布函数的概念，理解连续型随机变量及其概率密度的概念。掌握概率密度与分布函数的关系，分布函数与密度函数的性质，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其应用。

（3）了解b分布、g分布、Weibull分布及其参数的几何特性。

（4）会求简单随机变量函数的概率分布。

简要介绍b分布、g分布和Weibull分布的概率密度数学形式、几何特征与参数内涵。

2.重点、难点

重点：离散型随机变量的分布律，贝努利概型及二项分布、泊松分布；分布函数的概念及性质；连续型随机变量概率密度的概念、性质与几何特征；连续型随机变量常见分布：均匀分布、指数分布和正态分布的几何特征与参数内涵

难点：随机变量函数的分布。

3.作业及课外学习要求：

熟悉工程应用中的各种常见概率分布及其性质

随机变量的函数是分段单调函数时，其概率分布的求解方法。

（三）多维随机变量及其分布（8学时）

具体内容包括：二维随机变量；边缘分布；条件分布；相互独立的随机变量；两个随机变量的函数的分布。

1.基本要求：

（1）了解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数的概念及性质、理解二维离散型随机变量的联合分布律及性质，二维连续型随机变量的联合密度函数及性质，会利用二维概率分布求有关事件的概率。

（2）了解边缘分布，条件分布。理解边缘密度，条件密度。会求二维离散型随机变量的边缘分布列及边缘分布函数。会求二维连续型随机变量的边缘密度函数与边缘分布函数。

（3）理解随机变量独立性的概念，掌握离散型和连续型随机变量独立性的条件。

（4）掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义。

（5）会求两个随机变量的简单函数（如两个随机变量线性组合函数、相互独立的n个随机变量最大值函数和最小值函数）的分布。

两个随机变量商的密度函数可以不讲

2.重点、难点

重点：二维随机向量的基本概念与性质；联合分布函数、联合分布律与联合密度函数；边缘分布函数，边缘分布律与边缘密度函数；随机变量间相互独立的充要条件和独立与不相关的相互关联。

难点：边缘分布求解时的积分定限和条件分布的求解。

3.作业及课外学习要求：

回顾微积分的相关求解方法；

掌握正态随机变量及其线性组合的概率分布；

典型的多维随机变量函数的分布的一般求解方法。

（四）随机变量的数字特征（6学时）

具体内容包括：数学期望；方差；几种重要随机变量的数学期望和方差；协方差及相关系数；矩、协方差矩阵。

1.基本要求：

（1）理解随机变量数字特征（数学期望、方差与标准差、k阶原点矩、k阶中心矩及混合中心矩、协方差和相关系数）的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。

（2）会根据随机变量X的概率分布求g(X)的数学期望E[g(X)]；会根据随机变量X和Y的联合概率分布求其函数g (X,Y)的数学期望E[g(X,Y )]。

（3）能根据随机向量(X,Y )的联合概率分布求其相关系数，理解相关系数取特殊值的概率含义。了解切比雪夫不等式的内涵及应用范畴。

只考核二维正态向量概率密度的数量表述及其参数内涵。

2.重点、难点

重点：随机变量（离散型、连续型）的数学期望、方差的概念与性质；随机变量常见分布的数学期望与方差的求解；随机向量的协方差和相关系数的概念与性质；n维正态向量的性质与协方差矩阵。

难点：n维正态向量概率密度的数量表达式及其参数的矩阵描述。

3.作业及课外学习要求：

掌握求解数字特征时的随机变量分解方法；

不相关与独立性区别的实际意义，以及二维正态随机变量的不相关与独立性之间的关系

（五）大数定律及中心极限定理（2学时）

具体内容包括：大数定律、中心极限定理。

1.基本要求：

（1）了解依概率收敛和依分布收敛的概念与内涵。

（2）了解切比雪夫大数定律、贝努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）成立的条件和结论。

（3）掌握独立同分布的中心极限定理，德莫佛-拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布的定理）的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

2.重点、难点

重点：独立同分布的中心极限定理、棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理的概念内涵及应用。

难点：依概率收敛、依分布收敛的概念；切比雪夫大数定律、贝努利大数定律、辛钦大数定律的数学表述与内涵。

3.作业及课外学习要求：

了解概率论的发展历史；

了解强大数定律的概念。

（六）数理统计的基本概念（4学时）

具体内容包括：随机样本；抽样分布。

1.基本要求：

（1）掌握总体与个体、样本与简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念。

（2）掌握c²分布、t分布和F分布的定义及性质，了解分位数的概念并会查表计算。

（3）掌握正态总体的常用抽样分布。

有关命题或性质的证明可略讲。

2.重点、难点

重点：总体与个体、样本与简单随机样本、统计量与抽样分布的概念及构成方式；三种抽样分布（c²分布、t分布和F分布）的定义与用途；正态总体下样本均值与样本方差的分布。

难点：总体和样本空间的区别。

3.作业及课外学习要求：

了解不同概率分布之间的关系；

了解产生符合各种概率分布的样本的方法。

（七）参数估计（6学时）

具体内容包括：参数的点估计；估计量的评选标准；区间估计；正态总体均值和方差的置信区间；(0-1)分布参数的区间估计；单侧置信区间。

1.基本要求：

（1）理解参数的估计、估计量、点估计的概念。掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和极大似然估计法。

（2）了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性。

（3）了解区间估计、置信区间的概念。会求单个正态总体均值和方差的置信区间。会求两个正态总体均值差和方差比的置信区间。

（4）了解(0-1)分布参数的区间估计，单侧置信区间的概念。

(0-1)分布参数的区间估计可自学。

2.重点、难点

重点：分布参数的点估计与区间估计的概念、求解思想与评价准则；矩估计法和极大似然估计法的原理及应用；单个正态总体的均值和方差的置信区间，两个正态总体均值差与方差比的置信区间。

难点：极大似然估计的原理，区间估计统计量的构造。

3.作业及课外学习要求：

熟悉极大似然估计中似然方程无解时的估计量求解，以及矩估计中某阶矩不存在时估计量的求解。

（八）假设检验（7学时）

具体内容包括：假设检验；正态总体均值或方差的假设检验；分布拟合检验。

1.基本要求：

（1）了解小概率事件实际推断原理及显著性假设检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误及其原因。

（2）掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验的原理及应用。

（3）掌握以c²检验法为基础的单总体分布拟合检验的原理及应用。

本章中以下内容不讲：（1）样本容量的选取与OC函数；（2）偏度与峰度检验；（3）秩和检验。但可供学生自学与用作大作业。

2.重点、难点

重点：显著性假设检验的概念及两类错误产生的原因；小概率事件的实际推断原理融入假设检验的思想和假设检验的步骤；u、t、F统计量在单总体和双总体的参数假设检验中的应用；c²统计量作分布拟合检验的基本思想和应用。

难点：小概率事件的实际推断原理融入假设检验的思想和方法。假设检验统计量的构造方法

3.作业及课外学习要求：

了解实际应用中的典型假设检验案例。

三、教学安排及方式

总学时48 学时，其中：讲授42学时，习题课6学时。

注：教学方式填写“讲授、实验或实践、上机、综合练习、多种形式”。

四、本课程对培养学生能力和素质的贡献点

要求围绕人才培养目标，从课程体系的角度说明本课程对培养学生能力素质的贡献点，与人才培养方案中的知识、能力、素质矩阵相对应。

(1) 具有运用工程工作所需的相关数学、自然科学以及经济和管理知识的能力；

本课程以线性代数和高等数学为基础，系统学习概率论和数理统计方面的相关观念、数学原理和应用等，因而在本项能力上有明显贡献

(2) 具有运用工程基础知识和本专业基本理论知识解决问题的能力，具有系统的工程实践学习经历；了解本专业的前沿发展现状和趋势；

概率论与数理统计方面数学知识的系统学习，以及与实际应用的结合有助于提高运用工程基础知识和本专业基本理论知识解决问题的能力，对各章知识点学习中紧密结合当前工程领域的发展趋势，有助于学生对本专业的前沿发展和趋势的良好认识。

(3) 对终身学习有正确认识，具有不断学习和适应发展的能力；

通过系统的知识体系的讲授、理论与实践的良好结合、原理和技术与前沿发展现状的联系，使学生对终身学习有正确认识，具有不断学习和适应发展的能力。

五、考核及成绩评定方式

1．期末考试方式：笔试、闭卷。

2．最终成绩由平时成绩和期末成绩组合而成，各教学环节占总分的比例：平时测验及作业占10%，期末考试占90%。

平时作业成绩：10%。其中包括平时课后作业和数值实验。主要考核对每堂课知识点的复习、理解和掌握程度。

期末考试成绩：90%。主要考核学生对概率论与数理统计的基本概念、定理、算法及其应用等基础知识的掌握程度。书面考试形式。题型为：选择题、填空题和计算题等。

六、教材及参考书目

教材：盛骤等编，《概率论与数理统计》（第四版），北京：高等教育出版社，2008年。

参考书：

（1）中山大学统计科学系梁之舜等编著，《概率论及数理统计》上册（第三版），北京：高等教育出版社，2005年。

（2）复旦大学编，《概率论》，北京：人民教育出版社，1979年。

（3）复旦大学编，《数理统计》，北京：人民教育出版社，1979年。

（4）王梓坤编，《概率论及其应用》，北京：科学出版社，1979年。

（5）W.费勒（美）著，《概率论及其应用》（上）（下），北京：科学出版社，1979年。

（6）M.费史（波兰）著，《概率论及数理统计》，上海：上海科学技术出版社，1962年。

七、说明

（一）与相关课程的分工衔接

本课程主要学习了概率论基础和数理统计方面的相对完整的数学基础知识，为其它功课类课程提供概率论与数理统计的理论基础和知识背景，为《随机信号分析》、以及专业课等后续课程学习打下良好的基础。

（二）其他说明